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Parallele numerische Lösung von Optimalsteuerungsproblemen für instationäre Diffusions-Konvektions-Reaktionsgleichungen |
Teilprojekt A15 im SFB393 Parallele Numerische Simulation für Physik und Kontinuumsmechanik
Bearbeitet von: Prof. Dr. Peter Benner, Dipl. Math. Jens Saak
Betrachtet werden Randwertaufgaben mit linearen partiellen
Differentialgleichungen und Randkontrolle.
Bisherige Arbeiten:
In seiner Diplomarbeit hat Jens Saak sich mit der kontrollierten
Abkühlung von Stahlprofilen während des
Herstellungsprozesses am Beispiel eines Gleisprofils
beschätigt. Dabei sollten unterschiedliche Bereiche der
Profiloberfläche verschieden stark gekühlt werden
können.
Als Ausgangspunkt für die Problemstellung aus Ingenieurssicht diente die Tatsache, dass eine gleichmäßige Temperaturverteilung über den Profilquerschnitt vor den letzten Walzvorgängen durch selektive Kühlung, gegenüber konventioneller Walzung ohne selektive Kühlung, gleichmäßigere mechanische Eigenschaften des Endproduktes bewirkt.
Mathematisch führt dieses Problem auf eine
Optimalsteuerungsaufgabe mit Randkontrolle für eine (linearisierte)
Wärmeleitungsgleichung. Die Variationsformulierung dieser
Gleichung liefert ein linearquadratisches Optimalsteuerungsproblem in
klassischer Form, welches im Gegensatz zur klassischen Theorie in
einem unendlichdimensionalen Hilbertraum formuliert ist. Dieses
Problem kann nach Gibson 1979 mit einem
Zustandsrückführungsansatz gelöst werden.
Für die numerische Umsetzung wird eine FEM-Semidiskretisierung im Raum vorgenommen. Dadurch ergibt sich ein LQR-Problem für eine gewöhnliche Differentialgleichung. Diese hat allerdings sehr große Dimension (>1000), wodurch zusätzliche Schwierigkeiten bei der numerischen Behandlung entstehen.
Weitere Informationen:
- Übersichtsposter zur SFB Begutachtung
- Diplomarbeit Jens Saak: Effiziente numerische Lösung eines Optimalsteuerungsproblems für die Abkühlung von Stahlprofilen
- Efficient numerical Solution of the LQR problem for the heat equation; Proc. Appl. Math. Mech., 2004.
- Linear-Quadratic Regulator Design for Optimal Cooling of Steel Profiles.
Hinweis:
Unsere Systemmatrizen sind Teil der
Oberwolfach Model Reduction Benchmark Collection. Sie
befinden sich
hier.