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Verbundprojekt im Rahmen des BMBF-Programms
Mathematik für Innovationen in Industrie und Dienstleistungen

Modellreduktion zur schnellen Simulation neuer Halbleiterstrukturen in der Nanotechnologie und Mikrosystemtechnik
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Vorhabenbeschreibung





Gesamtziel des Vorhabens:

In diesem Verbundprojekt werden modellbasierte Methoden der Modellordnungsreduktion (MOR) für den Einsatz im Design von Mikro- und Nanosystemen sowie von dabei verwendeten Halbleiterstrukturen entwickelt. Aufgrund der extrem hohen Kosten des Photomasking und damit der Prototypfertigung nehmen Methoden der Computersimulation eine Schlüsselrolle ein, um möglichst produktionsnahe Modelle zu entwerfen und die Anzahl der erforderlichen Prototypen zu minimieren. Dieser Prozess, allgemein durch Computer-Aided Engineering (CAE) oder speziell im Elektronik-Bereich durch elektronische Designautomatisierung (EDA) realisiert, wird durch immer extremere Verhältnisse von Strukturgrößen (nanoskalig) zu Arbeitsfrequenzen (Gigahertz-Bereich) geprägt. Für einen Chiphersteller ist die Designfähigkeit seiner Kunden von ganz besonderem Interesse. Gerade der Analogschaltungsentwurf bedingt ständige Anpassung der Schaltungsfunktionalität auf neue Anforderungen - eine Wiederverwendung von fertig entwickelten und bereits dimensionierten Schaltungsblöcken ist hier wegen der enormen Vielfalt und Variationsbreiten oft nicht möglich. Parametrisierte Schaltungen und Schaltungsmodelle jedoch, die eine flexible Anpassung an neue Spezifikationen ermöglichen, bilden einen Schlüssel für einen effizienten Schaltungsentwurf. Sind solche parametrisierten Bibliotheken leicht an neue Anforderungen anpassbar und die dahinter liegenden mathematischen Modelle von hoher Genauigkeit und Robustheit, so bedeutet das einen entscheidenden Vorsprung am Markt sowohl für den Kunden, wie auch den Chiphersteller: schnelle Schaltungsauslegung für eine kürzere Time-To-Market bei gleichzeitig größerer Flexibilität und Funktionsvielfalt der entwickelten Schaltungen. Hierzu sind immer detailliertere mathematisch-physikalische Modelle erforderlich, die mit herkömmlichen direkten numerischen Simulationsmethoden kaum zu beherrschen sind und bei vollständiger Simulation zu erheblichen Rechenzeiten führen. Daher ist eine MOR unerlässlich, um die o.g. genannten Anforderungen im CAE und bei der EDA erfüllen zu können. Dabei wird das geplante Vorhaben insbesondere folgende zentralen Problemstellungen aufgreifen:
Bezug des Vorhabens zu den förderpolitischen Zielen:

Im beantragten Verbundprojekt sollen Methoden zur Modell(ordnungs)reduktion für gekoppelte Systeme von Halbleiterstrukturen und elektromagnetischen (EM) Feldgleichungen sowie für Systeme mit parametrischen Unsicherheiten, die Schwankungen der Strukturgrößen, bedingt durch Ungenauigkeiten im Herstellungsprozess (Lithographie, chemisch-mechanische Planarisierung/CMP), beschreiben, entwickelt werden. Damit leistet das geplante Verbundprojekt auch Beiträge zur Modellierung, Simulation und Optimierung unter Unsicherheiten. Insbesondere durch die EM Modellierung mit Hilfe der 3D Maxwell-Gleichungen sind die entstehenden Problemstellungen hochdimensional. Die zu behandelnden Probleme zeichnen sich durch die Kopplung von Schaltkreisgleichungen, nichtlinearen Halbleitermodellen mit unsicheren (stochastischen) Parametern sowie räumlich verteilten Effekten (EM/Maxwell-Gleichungen, Quanteneffekte/QDD) aus, was im Nanobereich unerlässlich ist. Dadurch entstehen gekoppelte Multiphysik-Systeme, bei denen auch Multiskalen-Effekte zu berücksichtigen sind. Da die zu entwickelnden Algorithmen perspektivisch in die Software der Industriepartner integriert werden sollen und extrem hochdimensionale Gleichungssysteme im MOR-Prozess zu lösen sind, ist selbstverständlich geplant, die mathematischen Algorithmen für die effiziente Verwendung von modernen Mehrkernprozessoren zu optimieren.
Das geplante Verbundprojekt liefert einen wesentlichen Beitrag zu mindestens zwei der Themen der Hightech-Initiative der Bundesregierung, da die schnelle Simulation zum Design und zur Verifikation von Nano- und Mikrosystemen eine unerlässliche Komponente der Schlüsseltechnologien Nanotechnologie und Mikrosystemtechnik darstellt. Die zu entwickelnden Methoden dienen dazu, die Prozesse der EDA und des CAE in diesen Bereichen erheblich zu beschleunigen und qualitativ zu verbessern. Da durch die hohen Kosten des Photomasking die Prototypfertigung zu einem möglichst späten Zeitpunkt im Designprozess erfolgen muss, können die neuen MOR-Methoden zukünftig eine wichtige Rolle in der industriellen Praxis der Industriepartner einnehmen. Die erfolgreiche Umsetzung dieses Projektziels steht damit im direkten Zusammenhang zu den Zielen des Nano-Initiative-Aktionsplans 2010 für einen schnelleren Transfer, speziell Nanoelektronik ist hierbei eine der Leitinnovationen. Im Vordergrund des geplanten Verbundprojekts steht dabei insbesondere der Transfer mathematischer Forschung, der den Industriepartnern in ihren FuE-Abteilungen nicht zur Verfügung steht. In ähnlicher Weise trägt der Transfer mathematischer Forschung zum gezielten Abbau bestehender Innovationsbarrieren im BMBF Rahmenprogramm Mikrosysteme, und hierbei insbesondere zum Bereich Systemintegration, bei, da ein direkter Beitrag zum Förderungsschwerpunkt Rechnergestützte Werkzeuge für den Entwurf und die Simulation in der Mikrosystemtechnik geleistet wird. Ebenso liefert die Bereitstellung von Methoden, die parametrische Unsicherheiten berücksichtigen, eine Hilfestellung bei Zuverlässigkeitsbetrachtungen für Nano- und Mikrosysteme.
Die industriellen Partner werden direkt in das Projekt einbezogen, indem die speziellen Anforderungen bei der methodischen Entwicklung berücksichtigt werden. So stehen z.B.\ bei der CST MOR-Methoden für EM Simulationen im Vordergrund, wohingegen bei Infineon eher nichtlineare MOR für den hauseigenen Schaltkreissimulator TITAN benötigt wird. Variationelle und parametrische MOR ist zur Berücksichtigung von Parameterschwankungen (verursacht durch Produktionsungenauigkeiten im Lithographieverfahren und/oder Alterung) bereits im Designprozess nötig. Entsprechende Verfahren könnten den von MunEDA entwickelten Desgintools wie z.B. WiCkeD^{TM} verbesserte Funktionalität verleihen, was dazu beitragen würde, das Marktpotenzial dieser Software weiter zu erhöhen. Zusammen mit einem Gesamtmodellreduktionsprozess (GMOR) tragen diese Verfahren auch dazu bei, die Entwicklungszyklen der MEMS Entwicklung bei X-FAB zu verkürzen sowie den durch die Schwierigkeiten im Lithographieprozess bedingten Ausschuss zu reduzieren, was sicherlich einen relevanten Beitrag zur Konkurrenzfähigkeit des Unternehmens leisten würde. Daher werden für die verschiedenen Anforderungen Methoden entwickelt, die auch über den Projektrahmen hinaus Anwendung in der Nanotechnologie und Mikrosystemtechnik finden dürften. Wesentlich ist dabei, dass die verschiedenen Ansätze methodisch in Beziehung stehen und nur in einem größeren Forschungsverbund so weit entwickelt werden können, dass sie für die industrielle Praxis, insbesondere in Kombination für GMOR, nutzbar werden. Desweiteren stellen die Industriepartner reale Praxisdaten zur Verfügung, die zur Verifikation der entwickelnden MOR-Algorithmen verwendet werden. Zum Testen kann auch auf industrielle Software für die volle Simulation zurückgegriffen werden, um die mit reduzierten Modellen erzielten Ergebnisse zu validieren, sowie die Effizienz der MOR gegenüber voller Simulation zu quantifizieren. Nach erfolgreichen Tests sollen dann die erfolgversprechendsten Ansätze in prototypische Software implementiert werden, so dass diese perspektivisch in die Desingtools der Industriepartner integriert werden können.

Wissenschaftliche und technische Arbeitsziele des Vorhabens:

Die Ziele des Vorhabens sollen durch die Bearbeitung von sechs Teilprojekten (TPen) erreicht werden. Die Aufgaben gliedern sich wie folgt: Allen Teilprojekten ist gemeinsam, dass die numerischen Verfahren für eine Reihe von Benchmark-Beispielen getestet werden sollen, die von den Industriepartnern zur Verfügung gestellt werden. Dafür wird ein einheitliches Schnittstellenformat verwendet. Vergleiche mit voller numerischer Simulation mit der von den Industriepartnern teilweise zur Verfügung gestellten Software sollen wichtige Hinweise auf die praktische Verwertbarkeit der neuen Methoden liefern, was sonst in einem reinen wissenschaftlichen Umfeld schwer zu bewerkstelligen ist. Bei alternativen Ansätzen sollen im dritten Jahr insbesondere für industrierelevante Daten Vergleichsrechnungen durchgeführt werden. Die erfolgversprechendsten Konzepte sollen dann soweit implementiert werden, dass die Industriepartner auf die entstandene Software zugreifen können, um diese ggf. in ihre Designtools und Softwareprodukte zu integrieren.

Stand der Wissenschaft und Technik:

In den letzten Jahren wurden erhebliche Fortschritte in der MOR linearer zeitinvarianter Systeme gemacht. Die entwickelten Verfahren basierend auf Krylov-Unterräumen und balanciertem Abschneiden [9, 45, 74, 82, 99] lassen sich auf die extrem hochdimensionalen Schaltungsgleichungen der Nanoelektronik anwenden, während die wichtigen Systemeigenschaften wie Stabilität und Passivität im reduzierten System erhalten bleiben. Des Weiteren wurden mehrere MOR-Techniken wie die Trajectory Piecewise Linear (TPWL) Methode [85, 86], empirisches balanciertes Abschneiden [68], nichtlineares balanciertes Abschneiden [89] oder Proper Orthogonal Decomposition (POD) [61, 105] für nichtlineare Probleme entwickelt. Jedoch ist keines dieser Verfahren im Stande, zuverlässige reduzierte Modelle mit gewünschter Approximationsgüte und für einen großen Eingangsbereich in akzeptabler Zeit zu erzeugen. Analoge Bemerkungen gelten auch für parametrische Systeme wie sie im Designprozess von Halbleiterstrukturen und Mikrosystemen auftreten. Für solche Systeme kommen überdies weitere Schwierigkeiten hinzu, da die für den Entwurf relevanten Geometrie- und Materialparameter im reduzierten Modell erhalten bleiben müssen. MOR parametrischer Systeme ist ein noch relativ junges Gebiet, das immer mehr an Bedeutung in verschiedenen Industrieanwendungen gewinnt. Erst vor kurzem sind die Krylov-Unterraum basierten Verfahren auf lineare parametrische Systeme verallgemeinert worden. Der erste Ansatz in [27] basierend auf explizitem Momentenabgleich erweist sich dabei wie im nicht-parametrischen Fall als numerisch instabil. Daher wurden implizite Momentenabgleichsmethoden f"ur polynomiale [32, 33] und allgemein nichtlineare [39, 40, 67] Parametrisierungen entwickelt. Ein noch allgemeinerer Rahmen für Interpolations-basierte Verfahren wird in [5] hergeleitet. Der Hauptnachteil dieser Verfahren ist, dass die Dimension des reduzierten Modells exponentiell mit der Anzahl der Parameter zunimmt, was die MOR von Systemen mit vielen Parametern wesentlich erschwert. Ein anderer Ansatz zur parametrischen MOR (PMOR) ist eine Kombination der Interpolation mit gängigen Verfahren für nicht-parametrische Systeme [7, 70]. Für die Anwendung dieses Ansatzes auf strukturierte Probleme der Schaltkreissimulation gibt es bisher so gut wie keine Ergebnisse. Auch die Erweiterung der reduzierten Basis (RB) Methode [51, 67] und des diskreten empirischen Interpolationsverfahrens [25] auf parametrische nichtlineare DAE-Systeme der Nanoelelektronik ist bisher weitestgehend ungeklärt. Neben den beschriebenen Ansätzen bieten auch die symbolischen Reduktionstechniken, wie sie im Umfeld des Analogschaltungsdesigns entwickelt wurden, einen vielversprechenden Zugang zur PMOR. Gerade die Entwicklung von automatischen, fehlerkontrollierten symbolischen Approximationsverfahren, zusammen mit leistungsfähigen Computer-Algebra Systemen hat die Anwendbarkeit symbolischer Analysetechniken auf komplexe analoge Schaltungen seit Ende der 90er Jahre ermöglicht [55]. Für lineare Systeme ist die Methode heute sehr weit entwickelt, so dass auch Schaltungen von industrieller Größenordnung untersucht werden können [53]. Aktuelle Forschungsarbeiten konzentrieren sich auf die automatisierte Generierung und effiziente Formulierung von nichtlinearen Verhaltensmodellen für automatische Verifikationsverfahren im Schaltungsentwurf von Mixed-Signal-Systemen [79, 52]. Zur eigentlichen MOR unter Parameterunsicherheit sind in diesem Umfeld jedoch bislang keine Arbeiten bekannt.
Parametrische Systeme entstehen unter anderem dadurch, dass Variation der Strukturbreiten und Ungenauigkeiten beim chemisch-mechanischen Polieren der Wafer [30, 31] und im lithographischen Prozess nicht mehr vernachlässigt werden können und deshalb der Einfluss des umgebenden EM-Feldes mit modelliert werden muss. Um starke Kopplungen des EM-Feldes in der Nanoelektronik und Mikrosystemtechnik mit in die Simulation einzubeziehen, wird das Simulationsgebiet in Teile zerlegt und die Übergänge mit elektrischen und magnetischen Verbindungen modelliert. Vervollständigt wird das Modell durch Annahmen an die Wellenzahl und Randbedingungen bzgl. der Schaltkreiselemente. Darauf aufbauend werden die Maxwellschen Gleichungen mit Randelementen, Finiten Elementen oder Finiter Integration diskretisiert. Ein wesentliches Merkmal der Finiten Integration besteht darin, dass die Formulierung der kontinuierlichen Maxwellschen Gleichungen in gleicher Weise auch auf Basis diskreter Modelle gelingt. Die abgeleiteten Gleichungen lassen sich gleichermaßen auf verwandte physikalische Prozesse mit struktureller Ähnlichkeit wie beispielsweise der Wärmeleitungsgleichung übertragen. Durch diese Verbindung kann man elektrisch-thermisch gekoppelte Systeme realisieren, die für die Simulation stark temperaturabhängiger Materialeigenschaften in Halbleiterstrukturen notwendig werden. Darüber hinaus ist die Anbindung an Schaltkreismodelle möglich, wodurch sich auch konzentrierte Bauelemente in die Berechnungen einbinden lassen [28]. Für Fast Frequency Sweeps wurden MOR-Techniken für passive Hochfrequenzkomponenten und zugehörige Fehlerschätzer entwickelt, sowie erweiterte Verfahren für multivariate Parametrisierungen [32, 33, 90, 108]. Im Wesentlichen beschränkt sich der Einsatz der MOR im EM-Bereich auf Krylovraum-Verfahren [65, 107, 106, 108]. Ein wichtiges Ziel von MOR-Techniken ist die Erhaltung wesentlicher Systemeigenschaften wie Passivität und Stabilität. Offen ist derzeit die gezielte Analyse der hier oft anzutreffenden gekoppelten Simulation. Durch den Einsatz von Unterraum-Recycling-Verfahren konnten auch für quasistationäre 3D Feldsimulationen sowie für Krylovraum-basierte PMOR-Verfahren Fortschritte erzielt werden [26, 42]. Eine Weiterentwicklung der Recycling-Techniken in Kombination mit Effizienz steigernden Vorkonditionierungstechniken sowohl für PMOR bei Systemen mit unsicheren Parametern als auch für parametrische Lyapunovgleichungen soll hier vorangetrieben werden. Alternative Ansätze bestehen ferner darin, ordnungsreduzierte Modelle aus den Ausgangsgrößen von EM Feldsimulationen, etwa aus Zeitsignalen oder Übertragungsfunktionen im Frequenzbereich, zu entwickeln [2, 90].

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15. 01. 2014