Dieses Teilprojekt befasst sich mit MOR mittels Balancierten Abschneidens [49, 71, 72] für EM Probleme.
Diese werden typischer Weise durch die Maxwell-Gleichungen in drei Raumdimensionen beschrieben und
finden ihre Anwendungen zum Beispiel bei der numerischen Simulation von Übersprechen zweier dicht
benachbarter Leitungsbahnen. Die komplette Simulation dieser Effekte als Teil der Schaltkreissimulation
wäre bei weitem zu aufwändig. Hier werden für die Ortsdiskretisierung FEM (Nédélec-Elemente), Randelementmethoden (BEM), sowie FIT (aus TP2) verwendet und mit MOR durch Balanciertes Abschneiden das resultierende Deskriptorsystem nach Semidiskretisierung der Ortskoordinaten behandelt. Zur Berechnung der balancierten Reduktion werden hier (verallgemeinerte) Lyapunov-Gleichungen gelöst, wo die System-Matrix aus diskretisierten Maxwell-Gleichungen entsteht zusammen mit entsprechenden Massematrizen. Neben den Projektionen auf die (diskret) divergenzfreien Funktionen soll in Zusammenarbeit mit TP4 die Struktur analysiert werden, unter welchen Bedingungen weitere spektrale Projektionen benötigt werden. Hier ist zu erwarten, dass Ergebnisse auf ähnlich gelagerte Probleme [95] übertragbar sind.
Die für das CF-ADI-Verfahren [69] erforderlichen Shift-Parameter ließen sich im Falle der Formulierung 1. Ordnung aus den Wurzeln der optimalen Shift-Parameter [102] für den diskretisierten rot rot-Operator gewinnen. Alternativ sollen auch MOR-Techniken für die Formulierung 2. Ordnung untersucht werden. Die entstehenden Systeme entsprechen geshifteten Maxwell-Systemen. Je nach Größe der Shifts bieten sich einmal schnelle FEM Multigrid-Löser [63, 64] sowie der in TP2 behandelte 3D Löser für Maxwell-Gleichungen, der auch beim Industriepartner CST eingesetzt wird, an. Bei größeren Shifts sind durch die zunehmende Diagonaldominanz auch algebraische Multilevel-ILU-Löser eine attraktive Alternative, z.B. das vom TP-Leiter entwickelte Software-Paket ILUPACK [21, 20]. Der Multilevel-ILU-Löser kann sich ähnlicher Shift-Techniken wie bei Helmholtz-Gleichungen [19] bedienen sowie an das Problem adapiert werden.
Die Methode des balancierten Abschneidens erfordert den Einsatz von Projektoren in jedem Lösungsschritt. Alternativ hierzu wird in Zusammenarbeit mit TP4 der projektionsfreie Ansatz über Nebenbedingungen untersucht. Ein möglicher Zugang hierzu wurde in [54] aufgezeigt. Schließlich ist im Rahmen dieses TPes vorgesehen Anpassungen von MOR-Techniken für moderne Rechnerarchitekturen (Mehrkernprozessoren) vorzunehmen und auf diese Weise eine angepasste MOR-Bibliothek zu entwickeln.
Meilensteine:
[Monate 1-12] Spektrale Projektoren für Maxwell-Gleichungen werden analysiert und für
MOR eingesetzt.
[Monate 1-6] Benchmark EM-Probleme mittels FEM (Nédélec-Elemente) und BEM werden
erzeugt und anderen TPen zur Verfügung gestellt. Hierbei wird auf hierarchische Strukturen (z.B.
mittels HLIB1) zurückgegriffen. MOR erfolgt zuerst mit algebraischen Lösern, dann mit Multigrid.
[Monate 7-12] Modelle aus TP2, diskretisiert mittels FIT werden untersucht. Darauf basierend kann die MOR anhand der 3D Löser aus TP2 durchgeführt werden.
[Monate 13-24] Effiziente Löser (Berechnung der Projektoren bzw. ADI-Iteration) werden
entwickelt. Vergleich mit den Methoden aus TP2, TP3 und TP6 soll Aufschluss über Vor- und
Nachteile geben. Eine Kombination von Techniken des Balancierten Abschneidens und Krylov-
Unterraum-Techniken könnte daraus entwickelt werden.
[Monate 25-36] Alternative Untersuchung projektionsfreier Methoden (mit TP4). Anschließend
erfolgt die Anpassung von MOR-Techniken für Mehrkernarchitekturen.
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