In diesem Teilprojekt soll eine MOR-Methodik entwickelt werden, die es erlaubt, den Einfluss des EM Felds auf Halbleiterstrukturen zu untersuchen, bei denen z.B. durch Ungenauigkeiten im Lithographieprozess
gewisse Schwankungen der Strukturbreiten zu berücksichtigen sind. Diese Prozessvariationen gehen
als unsichere Parameter in die dynamischen Modelle der Halbleitermodellierung ein und genügen einer
aus dem Herstellungsprozess abgeleiteten Verteilungsfunktion. Dazu ist es notwendig, MOR-Verfahren
für dynamische Systeme, die aus der Diskretisierung der Maxwell-Gleichungen herrühren, zu entwickeln. Als Alternative zu den in den TPen 1 und 2 betrachteten Verfahren soll hier für eine Diskretisierung mit Hilfe von Randelementmethoden in Verbindung mit hierarchischen Matrizen, wie sie in TP1 bereitgestellt wird, eine Variante des balancierten Abschneidens basierend auf der in [6] vorgestellten Methode implementiert werden. Das resultierende Verfahren wird dann mit Hilfe des von TP2 bereitgestellten EM Lösers für realistische Probleme getestet.
Die schnelle Simulation der nun gekoppelten Halbleiter-EM Modelle mit unsicheren Parametern erfordert die Weiterentwicklung von Methoden der parametrischen MOR, wie sie vom Antragsteller in [5, 7, 42, 40, 39] mitentwickelt wurden, hin zur variationellen MOR, bei der nicht nur die Parameter als symbolische Größen im reduzierten Modell erhalten bleiben, sondern auch deren stochastische Eigenschaften. Sollte sich hier eine theoretische Untersuchung als nicht durchführbar erweisen, ist ein Nachweis des Erhalts der Verteilung, der die Ausgangsgrößen genügen, empirisch zu führen. Die variationellen MOR-Methoden sollen auf dem balancierten Abschneiden für stochastische Systeme, wie in [10] vorgeschlagen, basieren. Die Berechnung der erforderlichen Gramschen erfolgt dabei über bilineare Lyapunovgleichungen. Hierfür sind Methoden zur numerischen Lösung bei großen Systemen zu entwickeln, wobei analog zu empirischen Gramschen bei nichtlinearen Systemen [68] ggf. stochastische Integrale ausgewertet werden müssen. Dazu sollen Dünngitter-Techniken [23, 48, 91], die bereits in [7] zum Einsatz kommen, zur interpolatorischen Quadratur [4] verwendet werden, wie es z.B. in [77] bereits für stochastische Anwendungen vorgeschlagen wurde. Um die Rechenzeiten zu optimieren, sollen bei der variationellen MOR die bereits für die parametrische MOR untersuchten Unterraum-Recycling-Techniken [42] gemeinsam mit TP4 weiterentwickelt werden.
Die MOR-Methoden für EM Systeme sowie Systeme mit unsicheren Parametern sollen dann verkoppelt
werden, um die angestrebte schnelle variationelle Untersuchung von Halbleiterstrukturen unter EM
Einfluss zu realisieren. Die resultierenden Verfahren sollen in der letzten Projektphase in die Software der Industriepartner integriert werden, wobei die variationelle MOR-Methode insbesondere für den Einsatz bei Infineon geeignet scheint, während der ganzheitliche Ansatz für gekoppelte EM-Halbleiter-Modelle bei den anderen Industriepartnern in CAE bzw. EDA Software zu integrieren ist.
Meilensteine:
[Monate 1-10] Entwicklung und Implementierung eines MOR-Verfahrens für Systeme mit parametrischen
Unsicherheiten basierend auf balanciertem Abschneiden (Berechnung mit bilinearen Lyapunovgleichungen, alternativ mit Hilfe von Dünngitter-Quadratur/-Kollokation).
[Monate 11-14] Implementierung eines MOR-Verfahrens für EM Systeme basierend auf BEM-Diskretisierung mit hierarchischen Matrizen.
[Monate 15-24] Entwicklung und Implementierung eines MOR-Verfahrens zur Untersuchung
des Einflusses des umgebenden EM Feldes auf Halbleiterstrukturen mit parametrischen Unsicherheiten,
basierend auf einer Kopplung der in den ersten beiden Meilensteinen entwickelten Methoden.
[Monate 20-24] Untersuchung der statistischen Eigenschaften der Simulationsergebnisse des reduzierten Modells, analytischer Nachweis des Erhalts der Verteilungsfunktion, alternativ: empirischer Nachweis.
[Monate 25-36] Verifikation der neuen MOR-Methoden im industriellen Umfeld, Integration prototypischer Implementierung über ein Interface in eine von Infineon Technologies zur Verfügung
gestellte Standalone-Version von TITAN an der TU Chemnitz, Vergleich mit vollständiger EM Simulation
mit CST Software sowie in EDA Anwendungen bei MunEDA.
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