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Fachgruppe Computational Methods in Systems and Control Theory

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DFG Schwerpunktprogramm 1253: Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen

Projekt

Optimal Steuerungsansätze für Feedback Stabilisierungen von Mehr-Feld-Strömungsproblemen

Das Ziel dieses Projektes ist die Herleitung und Untersuchung numerischer Algorithmen für die Stabilisierung von Mehrfeld-Strömungsproblemen über Randeingriff basierend auf Optimalsteuerungsmethoden.

Wir verfolgen einen Ansatz, der in den letzten Jahren in einer Reihe von Veröffentlichungen von Barbu, Lasiecka, Triggiani, Raymond und anderen vorgestellt wurde. Die Autoren konnten die Möglichkeit der Stabilisierung gestörter Strömungen, beschrieben durch Navier-Stokes-Gleichungen, mithilfe einer Regelung basierend auf dem entsprechenden linear-quadratischen Optimalsteuerungsproblem beweisen.

Bisher ist die numerische Lösung solcher linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme aufgrund der Komplexität der existierenden Algorithmen problematisch. Indem wir neue Fortschritte in der Reduktion dieser Komplexitäten proportional zu der Komplexität der Lösung des Vorwärtsproblems einsetzen, wollen wir die vorgestellten Methoden auf Mehrfeld-Strömungsprobleme anwenden, bei denen die Strömung mit anderen Feldgleichungen gekoppelt ist.

Wir behandeln drei Szenarien von wachsender Schwierigkeit, an denen wir die Anwendbarkeit des optimalsteuerungsbasierten Feedback-Stabilisierungsansatzes demonstrieren wollen.

Die Szenarien sind die folgenden:

  • Navier-Stokes-Strömung gekoppelt mit (passivem) Transport einiger (reaktiver) Substanzen:

    Dieses Beispiel ist ein eher grobes Modell eines Reaktors, in dem chemische Substanzen durch ein Strömungsfeld transportiert werden und an der Oberfläche reagieren. Die Reaktion wird als schnell im Vergleich zu Diffusion und Transport angenommen, so dass sie durch eine homogene Dirichlet-Randbedingung vereinfacht modelliert werden kann.
    Die Regelung erfolgt durch Variation der Einströmungs-Randbedingung. Dies ist dadurch motiviert, dass der Reaktionsprozess hauptsächlich durch den Transport der chemischen Substanz von der Einströmung zur Reaktionsoberfläche beeinflusst wird.

  • Phasenübergang flüssig-fest mit Konvektion:

    Wir betrachten eine heiße Schmelze, die sich während der Strömung durch eine Gussform verfestigt. Aufgabenstellung ist die Regelung der Phasengrenze zwischen dem flüssigen und dem festen Teil der Form. Zur Behandlung der Navier-Stokes-Gleichungen im flüssigen Teil kommt die Lösung einer Wärmeleitungsgleichung für die Temperatur auf dem ganzen Gebiet hinzu. Die Regelung ist als Temperaturverteilung auf einem Teil des Randes gegeben.

  • Stabilisierung einer Strömung mit freier kapillarer Oberfläche:

    Freie kapillare Oberflächen spielen eine entscheidende Rolle in vielen technischen Anwendungen. Dabei ist die Regelung der freien Oberfläche von höchstem Interesse. Hier betrachten wir ein Modellbeispiel, in dem eine Flüssigkeit über ein Hindernis strömt; der obere ist dabei ein freier kapillarer Rand. Aufgrund der Karman'schen Wirbelbildung beim Umfließen des Hindernisses wird dieser Rand oszillatorisch sein. Das Ziel ist die Stabilisierung des freien Randes.

Projektleiter:

Prof. Dr. Peter Benner
Prof. Dr. Eberhard Bänsch
(Applied Mathematics III, FAU Erlangen)

Projektbearbeiter:

Anne Katrin Heubner (11/2006-09/2008)
Dr. Jens Saak (10/2009-01/2011)
Heiko Weichelt (seit 06/2011)

Studentische Hilfskräfte:

Martin Köhler (05/09-10/10)
Heiko Weichelt (11/08-12/10)

Simulationen

Navier-Stokes in von Kármánschen Wirbelstraße

Beispiel: Re=500, t_end=30
Kontrolleinfluss über Randeingriff nach t_control=10

Steuerungseinfluss mit konstantem Eingriff

Download als AVI mit besserer Qualität (ca. 12 MB)

(Nicht optimaler)Reglereingriff

Download als AVI mit besserer Qualität (ca. 19 MB)

Ziel: Laminare Strömung hinter dem Hindernis.

Navier-Stokes gekoppelt mit Transport

Beispiel: Re=10, Sc=10, t_end=60 (linkes Bild)
Stückweiser konstanter Regelungseingriff (rechtes Bild)

3D-Simulation der Konzentration

Download als AVI mit besserer Qualität (ca. 60 MB)

2D-Simulation der Konzentration
Download als AVI mit besserer Qualität (ca. 80 MB)

Ziel: Feste Rate der Reaktion am Hindernis.

Navier-Stokes in von Kármánschen Wirbelstraße


Beispiel: Re=300, t_end=40

Feedback Stabilisierung durch Randeingriff nach t_control=7.5 für Anfangsstabilisierung und optimale Stabilisierung.
Download als AVI mit besserer Qualität (ca. 69 MB)

Ziel: Die y-Komponente der Strömung soll in den Gitter Zellen 3 und 4 der 3. Zeile verschwinden.

Veröffentlichungen:

Poster:

Berichte und Abschlußarbeiten

Vorträge:

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Heiko Weichelt, heiko.weichelt@mathematik.tu-chemnitz.de