Verbundprojekt im Rahmen des BMBF-Programms
Mathematik für Innovationen in Industrie und Dienstleistungen
Modellreduktion zur schnellen Simulation neuer Halbleiterstrukturen in der Nanotechnologie und Mikrosystemtechnik
--MoreSim4Nano--
Vorhabenbeschreibung
Gesamtziel des Vorhabens:
In diesem Verbundprojekt werden modellbasierte Methoden der
Modellordnungsreduktion (MOR) für den
Einsatz im Design von Mikro- und Nanosystemen sowie von dabei
verwendeten Halbleiterstrukturen entwickelt. Aufgrund der extrem
hohen Kosten des Photomasking und damit der Prototypfertigung nehmen
Methoden der Computersimulation eine Schlüsselrolle ein, um möglichst
produktionsnahe Modelle zu entwerfen und die Anzahl der erforderlichen
Prototypen zu minimieren. Dieser Prozess, allgemein durch
Computer-Aided Engineering (CAE) oder speziell im
Elektronik-Bereich durch elektronische Designautomatisierung (EDA) realisiert,
wird durch immer extremere Verhältnisse von Strukturgrößen
(nanoskalig) zu Arbeitsfrequenzen (Gigahertz-Bereich) geprägt.
Für einen Chiphersteller ist die Designfähigkeit seiner Kunden von
ganz besonderem Interesse. Gerade der Analogschaltungsentwurf bedingt
ständige Anpassung der Schaltungsfunktionalität auf neue Anforderungen - eine Wiederverwendung von fertig entwickelten und bereits
dimensionierten Schaltungsblöcken ist hier wegen der enormen Vielfalt
und Variationsbreiten oft nicht möglich. Parametrisierte Schaltungen
und Schaltungsmodelle jedoch, die eine flexible Anpassung an neue
Spezifikationen ermöglichen, bilden einen Schlüssel für einen
effizienten Schaltungsentwurf. Sind solche parametrisierten
Bibliotheken leicht an neue Anforderungen anpassbar und die dahinter
liegenden mathematischen Modelle von hoher Genauigkeit und Robustheit,
so bedeutet das einen entscheidenden Vorsprung am Markt sowohl für den
Kunden, wie auch den Chiphersteller: schnelle Schaltungsauslegung für
eine kürzere Time-To-Market bei gleichzeitig größerer Flexibilität und
Funktionsvielfalt der entwickelten Schaltungen.
Hierzu sind immer detailliertere mathematisch-physikalische Modelle
erforderlich, die mit herkömmlichen direkten numerischen
Simulationsmethoden kaum zu beherrschen sind und bei vollständiger
Simulation zu erheblichen Rechenzeiten führen. Daher ist eine MOR
unerlässlich, um die o.g. genannten Anforderungen im CAE und bei der
EDA erfüllen zu können.
Dabei wird das geplante Vorhaben insbesondere folgende zentralen
Problemstellungen aufgreifen:
- Die hohe Dichte elektronischer Leiter zusammen mit immer höheren
Taktfrequenzen führt zu ungewünschten Nebeneffekten
(Übersprechen, verzögerte Signale, Substratrauschen), die nicht länger
vernachlässigbar und nur ungenügend durch einfache
SPICE-Modelle wie etwa PEEC darstellbar sind.
Stattdessen muss das umgebende EM Feld
einbezogen werden, welches durch die Maxwell-Gleichungen
beschrieben wird, deren Diskretisierung auf einem üblicherweise
3D Rechengebiet leicht zu mehreren Millionen
differentiell-algebraischen Gleichungen (DAEs)
führen kann. Hinzu kommen die Komplexität der geometrischen
Strukturen in Verbindung mit der erforderlichen Auflösung der
Feldvariation, welche für die numerische Modellierung
unabdingbar ist. Hierzu sind numerische Methoden zur Behandlung der
hochkomplexen EM Gleichungen zu entwickeln, die dann in MOR-Verfahren
für Systembeschreibungen, die die EM Felder integrieren, verwendet
werden können. Ziel sind hier also effiziente MOR-Methoden für gekoppelte
Systeme aus EM- und Schaltkreisgleichungen.
- Neben den EM Effekten spielen aufgrund der Strukturgrößen im
Nanobereich auch Quanteneffekte eine Rolle.
Diese müssen hier insbesondere auf Bauelementebene berücksichtigt
werden. Als Herausforderung ergibt sich damit eine weitere Kopplung
mit Quanten-Drift-Diffusions-(QDD-)Modellen. Hierbei ist ein System
gekoppelter nichtlinearer, partieller differentiell-algebraischer
Gleichungen (PDAEs) zu lösen, was die Dimension der behandelten
Systeme weiter hochschnellen lässt. Hierzu sollen MOR-Methoden für
die gekoppelte Bauteil-Schaltkreis-Simulation entwickelt werden, die
die QDD-Effekte berücksichtigen.
- Die Berücksichtigung von Parameterschwankungen (verursacht durch Produktionsungenauigkeiten
und/oder Alterung) soll bereits im Designprozess ermöglicht werden,
wodurch sich ein erhebliches Potenzial zur Reduktion des Produktionsausschusses
(Design for Yield) erschließt. Hierzu müssen parametrisierte
Kompaktmodelle zur Verfügung stehen, für die parametrische und
variationelle MOR-Methoden entwickelt werden sollen, die insbesondere
auch die statistischen Eigenschaften unsicherer Parameter erhalten
können. Dazu werden numerische und symbolische Ansätze verfolgt.
Bezug des Vorhabens zu den förderpolitischen Zielen:
Im beantragten Verbundprojekt sollen Methoden zur
Modell(ordnungs)reduktion für gekoppelte Systeme von
Halbleiterstrukturen und elektromagnetischen (EM) Feldgleichungen
sowie für Systeme mit parametrischen Unsicherheiten, die Schwankungen
der Strukturgrößen, bedingt durch Ungenauigkeiten im
Herstellungsprozess (Lithographie, chemisch-mechanische
Planarisierung/CMP), beschreiben, entwickelt werden. Damit
leistet das geplante Verbundprojekt auch Beiträge zur
Modellierung, Simulation und Optimierung unter Unsicherheiten.
Insbesondere
durch die EM Modellierung mit Hilfe der 3D Maxwell-Gleichungen sind die
entstehenden
Problemstellungen hochdimensional.
Die zu behandelnden Probleme zeichnen sich durch die Kopplung
von Schaltkreisgleichungen, nichtlinearen Halbleitermodellen
mit unsicheren (stochastischen) Parametern sowie räumlich
verteilten Effekten
(EM/Maxwell-Gleichungen, Quanteneffekte/QDD) aus, was im
Nanobereich unerlässlich ist.
Dadurch entstehen
gekoppelte Multiphysik-Systeme, bei
denen auch
Multiskalen-Effekte zu berücksichtigen sind.
Da die zu entwickelnden Algorithmen perspektivisch in die Software der Industriepartner
integriert werden sollen und extrem hochdimensionale Gleichungssysteme
im MOR-Prozess zu lösen sind, ist selbstverständlich geplant, die
mathematischen Algorithmen für die effiziente Verwendung von
modernen
Mehrkernprozessoren zu optimieren.
Das geplante Verbundprojekt liefert einen wesentlichen Beitrag zu mindestens zwei der Themen der Hightech-Initiative der Bundesregierung, da die schnelle
Simulation zum Design und zur Verifikation von Nano- und Mikrosystemen
eine unerlässliche Komponente der Schlüsseltechnologien
Nanotechnologie und
Mikrosystemtechnik darstellt. Die zu
entwickelnden Methoden dienen dazu, die Prozesse der EDA und des CAE
in diesen Bereichen erheblich zu beschleunigen und qualitativ zu
verbessern. Da durch die hohen Kosten des Photomasking die
Prototypfertigung zu einem möglichst späten Zeitpunkt im Designprozess
erfolgen muss, können die neuen MOR-Methoden zukünftig eine wichtige
Rolle in der industriellen Praxis der Industriepartner einnehmen. Die
erfolgreiche Umsetzung dieses Projektziels steht damit im direkten
Zusammenhang zu den Zielen des
Nano-Initiative-Aktionsplans 2010 für einen schnelleren Transfer, speziell
Nanoelektronik ist hierbei eine der
Leitinnovationen. Im Vordergrund des geplanten Verbundprojekts steht dabei insbesondere der Transfer mathematischer Forschung, der den Industriepartnern in ihren FuE-Abteilungen nicht zur Verfügung steht.
In ähnlicher Weise trägt der Transfer
mathematischer Forschung zum gezielten Abbau bestehender
Innovationsbarrieren im BMBF Rahmenprogramm
Mikrosysteme, und hierbei insbesondere zum Bereich
Systemintegration, bei, da ein direkter Beitrag zum Förderungsschwerpunkt
Rechnergestützte Werkzeuge für den Entwurf und die Simulation in der Mikrosystemtechnik geleistet wird. Ebenso liefert die Bereitstellung von Methoden, die
parametrische Unsicherheiten berücksichtigen, eine Hilfestellung bei
Zuverlässigkeitsbetrachtungen für Nano- und Mikrosysteme.
Die industriellen Partner werden direkt in das Projekt einbezogen,
indem die speziellen Anforderungen bei der methodischen Entwicklung
berücksichtigt werden. So stehen z.B.\ bei der
CST MOR-Methoden für EM Simulationen im Vordergrund, wohingegen bei Infineon eher
nichtlineare MOR für den hauseigenen Schaltkreissimulator TITAN benötigt wird.
Variationelle und parametrische MOR ist zur Berücksichtigung von
Parameterschwankungen (verursacht durch Produktionsungenauigkeiten im
Lithographieverfahren und/oder Alterung) bereits im Designprozess nötig.
Entsprechende Verfahren könnten den von MunEDA entwickelten
Desgintools wie z.B. WiCkeD^{TM} verbesserte Funktionalität
verleihen, was dazu beitragen würde, das Marktpotenzial dieser
Software weiter zu erhöhen. Zusammen mit einem
Gesamtmodellreduktionsprozess (GMOR) tragen diese Verfahren auch dazu
bei, die Entwicklungszyklen der MEMS Entwicklung bei X-FAB zu verkürzen sowie den durch
die Schwierigkeiten im Lithographieprozess bedingten Ausschuss zu
reduzieren, was sicherlich einen relevanten Beitrag zur
Konkurrenzfähigkeit des Unternehmens leisten würde. Daher
werden für die verschiedenen Anforderungen Methoden entwickelt, die
auch über den Projektrahmen hinaus Anwendung in der Nanotechnologie und
Mikrosystemtechnik finden dürften. Wesentlich ist dabei, dass die
verschiedenen Ansätze methodisch in Beziehung stehen und
nur in einem größeren Forschungsverbund so weit entwickelt werden
können, dass sie für die industrielle Praxis, insbesondere in
Kombination für GMOR, nutzbar werden.
Desweiteren stellen die Industriepartner reale Praxisdaten zur
Verfügung, die zur Verifikation der entwickelnden MOR-Algorithmen
verwendet werden. Zum Testen kann auch auf industrielle Software für
die volle Simulation zurückgegriffen werden, um die mit reduzierten
Modellen erzielten Ergebnisse zu validieren, sowie die Effizienz der
MOR gegenüber voller Simulation zu quantifizieren.
Nach erfolgreichen Tests sollen dann die erfolgversprechendsten
Ansätze in prototypische Software implementiert werden, so dass diese
perspektivisch in die Desingtools der Industriepartner integriert
werden können.
Wissenschaftliche und technische Arbeitsziele des Vorhabens:
Die Ziele des Vorhabens sollen durch die Bearbeitung von sechs
Teilprojekten (TPen) erreicht werden. Die Aufgaben gliedern sich wie folgt:
- TP1 untersucht MOR mittels Balanciertem Abschneiden
für EM-Probleme und entwickelt parallele MOR-Methoden.
- TP2 behandelt strukturierte 3D-Löser für Maxwell-Gleichungen in komplexen Geometrien sowie Reduktionsmethoden während der Diskretisierung der Systeme.
- TP3 entwickelt MOR-Verfahren zur Untersuchung des Einflusses des umgebenden EM-Felds auf die Funktionsweise von Halbleiterstrukturen mit parametrischen Unsicherheiten.
- TP4 untersucht die reduzierte Darstellung parametrisierter DAEs sowie Techniken zur nichtlinearen MOR.
- TP5 erweitert symbolische MOR-Techniken zur Berücksichtigung von
Prozessschwankungen mittels kombinierter symbolischer und numerischer Techniken.
- TP6 konzentriert sich auf den Entwurf von Gesamtsystem basierten MOR-Methoden
(GMOR) auf der Grundlage von reduzierten Basis (RB) Methoden für gekoppelte Simulation in der Nanoelektronik.
Allen Teilprojekten ist gemeinsam, dass die numerischen Verfahren
für eine Reihe von Benchmark-Beispielen getestet werden
sollen, die von den Industriepartnern zur Verfügung gestellt werden.
Dafür wird ein einheitliches Schnittstellenformat verwendet.
Vergleiche mit voller numerischer Simulation mit der von den
Industriepartnern teilweise zur Verfügung gestellten Software sollen
wichtige Hinweise auf die praktische Verwertbarkeit der neuen Methoden
liefern, was sonst in einem reinen wissenschaftlichen Umfeld schwer zu
bewerkstelligen ist.
Bei alternativen Ansätzen sollen im dritten Jahr insbesondere für
industrierelevante Daten Vergleichsrechnungen durchgeführt werden.
Die erfolgversprechendsten Konzepte sollen dann soweit implementiert
werden, dass die Industriepartner auf die entstandene Software
zugreifen können, um diese ggf. in ihre Designtools und
Softwareprodukte zu integrieren.
Stand der Wissenschaft und Technik:
In den letzten Jahren wurden erhebliche Fortschritte in der
MOR linearer zeitinvarianter Systeme gemacht. Die
entwickelten Verfahren basierend auf Krylov-Unterräumen und
balanciertem Abschneiden
[9, 45, 74, 82, 99] lassen sich auf die extrem hochdimensionalen Schaltungsgleichungen der Nanoelektronik
anwenden, während die wichtigen Systemeigenschaften wie Stabilität
und Passivität im reduzierten System erhalten bleiben. Des Weiteren
wurden mehrere MOR-Techniken wie die Trajectory
Piecewise Linear (TPWL) Methode
[85, 86], empirisches
balanciertes Abschneiden
[68], nichtlineares
balanciertes Abschneiden
[89] oder Proper Orthogonal
Decomposition (POD)
[61, 105] für nichtlineare
Probleme entwickelt. Jedoch ist keines dieser Verfahren im
Stande, zuverlässige reduzierte Modelle mit gewünschter
Approximationsgüte und für einen großen Eingangsbereich in
akzeptabler Zeit zu erzeugen. Analoge Bemerkungen gelten auch für
parametrische Systeme wie sie im Designprozess von Halbleiterstrukturen und Mikrosystemen auftreten. Für solche Systeme kommen
überdies weitere Schwierigkeiten hinzu, da die für den Entwurf
relevanten Geometrie- und Materialparameter im reduzierten Modell
erhalten bleiben müssen.
MOR parametrischer Systeme ist ein noch relativ junges
Gebiet, das immer mehr an Bedeutung in verschiedenen
Industrieanwendungen gewinnt.
Erst vor kurzem sind die Krylov-Unterraum basierten Verfahren auf
lineare parametrische Systeme verallgemeinert worden. Der erste
Ansatz in
[27] basierend auf explizitem
Momentenabgleich erweist sich dabei wie im nicht-parametrischen
Fall als numerisch instabil. Daher wurden implizite
Momentenabgleichsmethoden f"ur polynomiale
[32, 33] und
allgemein nichtlineare
[39, 40, 67]
Parametrisierungen entwickelt. Ein noch allgemeinerer Rahmen für
Interpolations-basierte Verfahren wird in
[5] hergeleitet.
Der Hauptnachteil dieser Verfahren ist, dass die Dimension des
reduzierten Modells exponentiell mit der Anzahl der Parameter
zunimmt, was die MOR von Systemen mit vielen
Parametern wesentlich erschwert. Ein anderer Ansatz zur
parametrischen MOR (PMOR) ist eine Kombination der
Interpolation mit gängigen Verfahren für nicht-parametrische
Systeme
[7, 70]. Für die Anwendung dieses Ansatzes
auf strukturierte Probleme der Schaltkreissimulation gibt es
bisher so gut wie keine Ergebnisse.
Auch die Erweiterung der
reduzierten Basis (RB) Methode
[51, 67] und des diskreten
empirischen Interpolationsverfahrens
[25] auf
parametrische nichtlineare DAE-Systeme der Nanoelelektronik ist
bisher weitestgehend ungeklärt.
Neben den beschriebenen Ansätzen bieten auch die symbolischen
Reduktionstechniken, wie sie im Umfeld des Analogschaltungsdesigns
entwickelt wurden, einen vielversprechenden Zugang zur
PMOR. Gerade die Entwicklung von
automatischen, fehlerkontrollierten symbolischen
Approximationsverfahren, zusammen mit leistungsfähigen
Computer-Algebra Systemen hat die Anwendbarkeit symbolischer
Analysetechniken auf komplexe analoge Schaltungen seit Ende der
90er Jahre ermöglicht
[55]. Für lineare Systeme ist die Methode heute
sehr weit entwickelt, so dass auch Schaltungen von industrieller
Größenordnung untersucht werden können
[53]. Aktuelle
Forschungsarbeiten konzentrieren sich auf die automatisierte
Generierung und effiziente Formulierung von nichtlinearen
Verhaltensmodellen für automatische Verifikationsverfahren im
Schaltungsentwurf von Mixed-Signal-Systemen
[79, 52]. Zur
eigentlichen MOR unter Parameterunsicherheit sind in
diesem Umfeld jedoch bislang keine Arbeiten bekannt.
Parametrische Systeme entstehen unter anderem dadurch,
dass Variation der Strukturbreiten und Ungenauigkeiten beim
chemisch-mechanischen Polieren der Wafer
[30, 31] und im
lithographischen Prozess nicht mehr vernachlässigt werden
können und deshalb der Einfluss des umgebenden EM-Feldes
mit modelliert werden muss.
Um starke Kopplungen des EM-Feldes in der
Nanoelektronik und Mikrosystemtechnik mit in die
Simulation einzubeziehen, wird das Simulationsgebiet
in Teile zerlegt und die Übergänge mit elektrischen und
magnetischen Verbindungen modelliert. Vervollständigt wird das
Modell durch Annahmen an die Wellenzahl und Randbedingungen bzgl.
der Schaltkreiselemente. Darauf aufbauend werden die
Maxwellschen Gleichungen mit Randelementen, Finiten Elementen oder Finiter
Integration diskretisiert.
Ein wesentliches Merkmal der Finiten Integration besteht darin, dass die Formulierung der kontinuierlichen Maxwellschen Gleichungen in gleicher Weise auch auf Basis diskreter Modelle gelingt.
Die abgeleiteten Gleichungen lassen sich gleichermaßen auf verwandte physikalische Prozesse mit struktureller Ähnlichkeit wie beispielsweise der Wärmeleitungsgleichung übertragen.
Durch diese Verbindung kann man elektrisch-thermisch gekoppelte Systeme realisieren, die für die Simulation stark temperaturabhängiger Materialeigenschaften in Halbleiterstrukturen notwendig werden.
Darüber hinaus ist die Anbindung an Schaltkreismodelle möglich, wodurch sich auch konzentrierte Bauelemente in die Berechnungen einbinden lassen
[28]. Für Fast Frequency Sweeps wurden MOR-Techniken für passive
Hochfrequenzkomponenten und zugehörige Fehlerschätzer entwickelt,
sowie erweiterte Verfahren für multivariate Parametrisierungen
[32, 33, 90, 108].
Im Wesentlichen beschränkt sich der Einsatz der MOR im
EM-Bereich auf Krylovraum-Verfahren
[65, 107, 106, 108].
Ein wichtiges Ziel von MOR-Techniken ist die Erhaltung
wesentlicher Systemeigenschaften wie Passivität und Stabilität.
Offen ist derzeit die gezielte Analyse der hier oft anzutreffenden gekoppelten Simulation.
Durch den Einsatz von Unterraum-Recycling-Verfahren konnten auch
für quasistationäre 3D Feldsimulationen sowie
für Krylovraum-basierte PMOR-Verfahren Fortschritte erzielt
werden
[26, 42]. Eine Weiterentwicklung der Recycling-Techniken in Kombination mit
Effizienz steigernden Vorkonditionierungstechniken sowohl für
PMOR bei Systemen mit unsicheren Parametern als auch für
parametrische Lyapunovgleichungen soll hier vorangetrieben werden.
Alternative Ansätze bestehen ferner darin,
ordnungsreduzierte Modelle aus den Ausgangsgrößen von
EM Feldsimulationen, etwa aus Zeitsignalen oder
Übertragungsfunktionen im Frequenzbereich, zu
entwickeln
[2, 90].
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